Risposte alla domande frequenti per una scelta informata dei corsi opzionali.
COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA (prof. V. Martino)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Analisi Matematica 1A, Analisi Matematica 1B e Analisi Matematica 2.
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?.
L’obiettivo del corso è quello di completare la formazione di analisi di base degli studenti del corso di Laurea in Matematica. La prima parte del corso è dedicata alle Serie di Fourier. L'analisi di Fourier, sviluppata inizialmente per fornire una spiegazione al fenomeno della propagazione del calore, ha poi trovato applicazione negli ambiti più disparati: dalla tomografia in medicina, alla cristallografia, dalla radioastronomia alle telecomunicazioni, fino alla riproduzione e sintesi del suono.
La seconda parte del corso è dedicata all’integrale di superficie, al teorema della divergenza e all’integrazione delle forme differenziali su varietà, con o senza bordo. Il calcolo delle forme differenziali su varietà ha le sue origini nelle varie forme che assume il teorema di integrazione per parti nel caso di più variabili: il teorema della divergenza di Gauss e il teorema di Stokes. Questi ultimi teoremi sono strumenti indispensabili per capire una parte significativa della fisica classica da un punto di vista matematico e per affrontare i primi problemi che emergono nello studio delle equazioni alle derivate parziali.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
Dato un segnale f (funzione periodica) lo studente saprà calcolare la sua serie di Fourier e saprà stabilire se questa converge a f puntualmente, uniformemente, o in media quadratica. Lo studente saprà anche utilizzare le serie di Fourier per risolvere alcuni problemi di equazioni alle derivate parziali in due variabili, come il problema di Dirichlet per il Laplaciano sul disco unitario e il problema di Cauchy Dirichlet per l'equazione del calore. Successivamente studieremo questi problemi in più variabili, utilizzando il teorema della divergenza. Lo studente imparerà a calcolare integrali superficiali, necessari per esempio per calcolare potenziali newtoniani, o semplicemente per calcolare le aree di oggetti geometrici come la sfera nello spazio euclideo n-dimensionale.
Ci sono applicazioni ad altre scienze o a situazioni nel modo reale (per es. lavorativo)?.
Le serie di Fourier sono oggi uno strumento indispensabile nell'analisi dei fenomeni periodici (come il moto della corda vibrante, il moto dei pianeti, il moto sismico, il moto delle onde, la teoria dei segnali, la ricostruzione di immagini) e pertanto hanno molteplici applicazioni in fisica, in geologia, in ingegneria elettronica e informatica. Inoltre, alcune moderne tecniche di calcolo come la trasformata rapida di Fourier trovano sempre più vasta utilizzazione nel calcolo numerico. Oltre alle applicazioni alla fisica matematica classica, la seconda parte del corso fornisce strumenti utili nello studio dei problemi al bordo per equazioni a derivate parziali ellittiche e paraboliche, e per approfondire alcuni aspetti di geometria differenziale.
COMPLEMENTI DI ALGEBRA (prof. M. Morigi)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Algebra 1 e Algebra 2.
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?.
La teoria di Galois è estremamente elegante e dimostra risultati profondi utilizzando tecniche algebriche che spaziano in svariati settori (combinatoria, teoria dei gruppi e dei campi).Si applica in particolare alla risoluzione di equazioni polinomiali tramite radicali. La teoria dei moduli permette di vedere da un punto di vista più generale concetti già noti di algebra lineare e fornisce strumenti utili per la teoria della rappresentazione.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
Conoscenza del gruppo di Galois di un'estensione di campi e della corrispondenza di Galois. Conoscenza dei moduli finitamente generati su alcune classi di anelli. in particolare anelli noetheriani e domini euclidei.
Qual è il tema principale del corso?
Nella prima parte del corso, si tratta di associare un gruppo (il gruppo di Galois) ad una estensione di campi e di utilizzarlo per dedurne informazioni molto forti su tale estensione. Nella seconda parte si definiscono i moduli e se ne analizzano alcune proprietà.
CURVE E SUPERFICI (prof.ssa A. Grassi)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Geometria 1A, Geometria 1B, Algebra1.
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?
Questo corso è uno dei primi passi per studiare geometria algebrica, insieme al corso Geometria Proiettiva, con cui è collegato. Il corso consiste di presentazione teoriche insieme a molti esempi ed applicazioni. In particolare presenteremo collegamenti con algebra, geometria, topologia, analisi, risultati recenti e problemi aperti.
GEOMETRIA PROIETTIVA (proff. A. Gimigliano, A. Grassi, M. Idà)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Geometria 1A, Geometria 1B, Algebra1, Algebra 2.
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?
La conoscenza della geometria proiettiva consente di capire meglio e più a fondo la geometria degli spazi affini; permette di avere modelli interessanti per la topologia; è uno dei primi passi per studiare geometria algebrica, insieme al corso Curve e Superfici, con cui è collegato. Inoltre la geometria proiettiva ha applicazioni in computer vision.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
Una prima conoscenza degli spazi proiettivi, delle curve algebriche piane e delle curve e superfici algebriche dello spazio proiettivo 3-dimensionale.
LOGICA MATEMATICA (prof. P. Plazzi)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Non c'è nessun prerequisito specifico, se non la matematica studiata alle scuole superiori, ma bisogna avere esperienza di dimostrazioni in Algebra (calcolo letterale) e geometria.
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?
La logica matematica è importante per comprendere l'esigenza di dimostrazioni corrette in matematica e analizzarle (perché alcune dimostrazioni sembrano corrette e non lo sono?) . Il ragionamento matematico è quello alla base del funzionamento dei calcolatori, e quindi ci sono molte connessioni e applicazioni in àmbito informatico.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
La capacità di impostare ed esporre chiaramente dimostrazioni e soprattutto di analizzarne la struttura e le motivazioni.
Ci sono applicazioni ad altre scienze o a situazioni nel modo reale (per es. lavorativo)?
Le situazioni nel mondo lavorativo in cui possono essere utili queste conoscenze sono legate all'informatica e all'insegnamento della matematica.
STATISTICA MATEMATICA (prof. M. Campanino)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Analisi Matematica, Algebra Lineare, Probabilità
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?
Permette di conoscere uno degli importanti campi di applicazione della matematica.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
Conoscerò alcune importanti distribuzioni utilizzate per la statistica di campioni gaussiani. Conoscerò metodi per ottenere intervalli di confidenza, effettuare test di ipotesi, effettuare la regressione lineare e l'analisi della varianza unidirezionale e bidirezionale.
Ci sono applicazioni ad altre scienze o a situazioni nel modo reale (per es. lavorativo)?
La statistica trova applicazione in tutte le scienze, sperimentali e sociali. I metodi statistici sono ampiamente utilizzati nell'industria, nella pratica medica e nella pubblica amministrazione.
TEORIA DEI NUMERI 1 (prof. M. Barnabei)
Quali materie devo conoscere per frequentare questo corso?
Algebra I
Perché è interessante studiare gli argomenti del corso? Che applicazioni ci sono ad altre parti della matematica?
A detta di Gauss, la Teoria dei Numeri è la regina della Matematica. I problemi che propone possono essere semplici nell'enunciato, ma estremamente complessi e stimolanti nelle risposte.
Che abilità conseguirò al termine delle lezioni che non avevo già prima?
Risolvere equazioni diofantee e congruenze, trovare terne pitagoriche, applicare metodi geometrici o gruppali a situazioni aritmetiche.
Ci sono applicazioni ad altre scienze o a situazioni nel modo reale (per es. lavorativo)?
La fattorizzazione in primi ha applicazioni alla crittografia; le equazioni diofantee a ogni problema in cui servano soluzioni intere. La nascita della teoria dei numeri risale alla preistoria, ed è presente in qualche forma in tutte le culture, e non può essere un caso.