Il corso di laurea ha progettato dei percorsi per aiutare gli studenti nella costruzione del piano di studi.
Il piano didattico è caratterizzato da un’ampia flessibilità che permette ad ognuno di poter costruire il percorso seguendo le proprie inclinazioni e i propri obiettivi. La lista con le descrizioni che viene presentata qui di seguito è una traccia che può aiutare nella formazione di percorsi coerenti negli ambiti indicati (l'elenco degli insegnamenti coerenti ai percorsi descritti si trovano in allegato, sulla destra della pagina).
Sono ovviamente permesse tutte le scelte possibili come da piano didattico ufficiale. Gli studenti sono invitati in ogni caso a prendere contatto con un docente del corso di studio che possa essere di supporto nella creazione di un piano formativo coerente.
Tutti i docenti del corso di laurea sono disponibili. In particolare si segnalano i seguenti docenti che sono stati membri della Commissione di Riforma della Laurea Magistrale: Giacomo Bormetti, Emanuela Caliceti, Alessia Cattabriga, Giovanna Citti, Fausto Ferrari, Germana Landi, André Martinez, Giovanni Mongardi, Marta Morigi, Andrea Pascucci, Alberto Parmeggiani, Fiorella Sgallari, Marilena Barnabei.
Percorsi – Curriculum Generale
- Algebra Combinatorica. ll percorso di Algebra e Combinatorica intende fornire una formazione specializzata nell'ambito della combinatoria e nei vari ambiti dell'algebra, al tempo stesso lasciando una ampia flessibilità allo studente per completare la sua formazione in tutti i settori della matematica. Il percorso approfondisce la teoria delle rappresentazioni, i grafi, le strutture algebriche e le loro applicazioni a tutti i settori della matematica.
Il percorso è particolarmente pensato per quegli studenti che siano interessati ad acquisire una formazione algebrica volta ad intraprendere attività di ricerca in ambito accademico, e per gli studenti interessati ad applicazioni dell'algebra e della combinatorica.
- Analisi e Geometria complessa. ll percorso di Geometria Complessa intende fornire una formazione specializzata nell'ambito dell'analisi e della geometria complessa, al tempo stesso lasciando una ampia flessibilità allo studente per completare la sua formazione in tutti i settori della matematica. Il percorso si dedica allo studio dell'analisi armonica, delle equazioni alle derivate parziali, della geometria complessa ed iperbolica. Il percorso è particolarmente pensato per quegli studenti che siano interessati ad acquisire una formazione matematica ad ampio spettro, o che vogliano intraprendere attività di ricerca in ambito accademico.
- Analisi e Probabilità. Il percorso offre una scelta bilanciata di esami in analisi matematica e probabilità al fine di fornire agli studenti una forte base teorica sulla quale costruire il proprio percorso. La possibilità di vedere aspetti deterministici e probabilistici dei problemi, e in particolare studiare equazioni differenziali con metodi di analisi matematica e stocastica, permette una comprensione più profonda dei problemi. Sono previste applicazioni a problemi di fisica matematica, geometria o problemi più applicati di finanza o modellazione.
- Analisi e Metodi Numerici con applicazioni. Il percorso offre una scelta bilanciata di esami in analisi matematica e numerica al fine di fornire agli studenti sia una forte base teorica, che competenze di tipo numerico, per trattare applicazioni diversificate. Specificamente sono consigliati approfondimenti di geometria differenziale, o di probabilità, oppure applicazioni di topologia computazionale, o modellistiche.
- Analisi Matematica. Il percorso offre una vasta scelta di esami in analisi matematica, per portare gli studenti nel cuore dei temi di ricerca attuali più vivaci e con una vastissima gamma di applicazioni, teoriche o concrete. Dopo essersi impadronito degli strumenti di base, e dei primi rudimenti di EDP, lo studente potrà approfondire altri strumenti avanzati di analisi e analisi non lineare, o arricchire il percorso con i corsi in inglese di calcolo delle variazioni ed analisi armonica. Potrà poi vedere applicazioni geometriche, alla fisica matematica, o ad altri problemi piu concreti. Questo percorso apre quindi possibilità di carriera in un dottorato, o in un centro di ricerca pubblico o privato
- Dinamica. I Sistemi Dinamici rappresentano uno dei campi più interdisciplinari e ramificati della Matematica, attingendo idee e strumenti dalla Geometria, dall’Analisi, dalla Probabilità, dalla Fisica, ecc. e offrendo tecniche e risultati a molte aree della matematica, oltre a innumerevoli applicazioni nelle Scienze. Il percorso di Dinamica fornisce allo studente le basi della moderna Teoria dei Sistemi Dinamici (ad es. dinamica topologica, teoria ergodica, applicazioni fondamentali, dinamica iperbolica e proprietà geometriche) nell’ambito di un contesto formativo più ampio, caratterizzato sia dalla varietà degli ambiti matematici che da affinità tematiche (ad es EDP, Processi Stocastici, sistemi della Fisica Matematica).
- Geometria e Topologia. ll percorso di Geometria e Topologia intende fornire una formazione specializzata nell'ambito della topologia algebrica e geometrica, al tempo stesso lasciando una certa flessibilità allo studente per completare la sua formazione in tutti i settori della matematica. Il percorso coniuga conoscenze topologiche avanzate, con tecniche geometriche e combinatoriche utili all'argomento e si dedica in modo approfondito al linguaggio della topologia ed alle sue nozioni, da quelle più classiche a quelle più recenti.
Il percorso, pur presentando anche alcune applicazioni, è particolarmente pensato per quegli studenti che siano interessati ad acquisire una formazione geometrica volta ad intraprendere attività di ricerca in ambito accademico.
- Geometria Algebrica. ll percorso di Geometria Algebrica intende fornire una formazione specializzata nell'ambito della geometria algebrica, al tempo stesso lasciando una ampia flessibilità allo studente per completare la sua formazione in tutti i settori della matematica. Il percorso coniuga conoscenze algebriche avanzate, con tecniche topologiche utili all'argomento e si dedica in modo approfondito al linguaggio della geometria algebrica ed alle sue nozioni, da quelle più classiche a quelle più recenti.
Il percorso è particolarmente pensato per quegli studenti che siano interessati ad acquisire una formazione geometrica volta ad intraprendere attività di ricerca in ambito accademico, o per tutti gli studenti a cui piaccia coniugare una forte intuizione geometrica con il rigore algebrico.
- Metodi Fisico-Matematici per l’Inferenza e il Machine Learning: i recenti sviluppi tecnologici nel campo della scienza dei dati e dei metodi di inferenza che nell’ultimo decennio hanno prodotto gli spettacolari successi nel campo dell’intelligenza artificiale e dell’apprendimento automatico (machine learning) esigono dei percorsi formativi che sappiano coniugare delle robuste basi teoriche ad una presa di contatto con i problemi scientifici emergenti. Tra gli obiettivi formativi trovano spazio sia le competenze utili a far progredire la ricerca che quelle che troveranno sbocchi occupazionali nelle aziende. Questo percorso proposto del gruppo di fisica-matematica abbina quindi le proprie basi culturali, con enfasi ai corsi di natura teorico-metodologica necessari ad acquisire queste competenze, ad alcuni corsi dove, in particolare, gli studenti saranno direttamente esposti ai metodi del Machine Learning e del Deep Learning sia dal punto di vista della teoria dell’informazione che da quello applicativo.
- Modellazione Geometrica. ll percorso di Modellazione Geometrica intende fornire solide basi matematiche negli ambiti della geometria e dell'analisi numerica, coniugando gli elementi di geometria e algebra alla base dei modelli matematici per la rappresentazione di entità geometriche (quali ad esempio curve e superfici) con conoscenze computazionali orientate all'utilizzo di questi modelli nelle applicazioni. Il percorso è particolarmente pensato per quegli studenti che siano interessati ad acquisire una formazione matematica volta ad intraprendere attività di ricerca e sviluppo in ambito industriale.
- Probabilità e Analisi Stocastica: intende fornire un solido background matematico che includa competenze trasversali negli ambiti disciplinari analitico, probabilistico, numerico e statistico. Il percorso è rivolto a:
- studenti che intendano approfondire gli aspetti puramente teorici per intraprendere un'attività di ricerca in ambito accademico o industriale;
- studenti interessati ad applicazioni reali che richiedano competenze matematiche sofisticate, offrendo una selezione di insegnamenti di carattere applicativo nei campi della medicina, economia, ingegneria e data science.
Percorsi - Curriculum Advanced Mathematics for Applications
- Calculus of Variations and PDE. The curriculum Calculus of Variations and PDE provides the students with a solid mathematical background and brings her/him to the heart of the current research in the Calculus of Variation and in PDEs, a research topic in which the Department of Mathematics has a large research group, with a very high international reputation. The student can choose to concentrate in pure math, or to see application to image processing or finance.
- Complex and Harmonic Analysis. The curriculum Complex and Harmonic Analysis provides the student with a solid mathematical background which brings her/him to the verge of current research in areas of Harmonic Analysis, Riemannian Geometry, and Complex Geometry and Analysis, and especially their frontiers. This background can be used both as a basis for further investigating the pure maths in these areas, or as a basis for studying some of their more applied offsprings, such as wavelet theory, analysis of signals, stochastic processes in a geometric setting.
- Data Science. Data Science describes the various aspects of real-time analysis and processing of dynamically changing massive amounts of data. These activities are only possible if multidisciplinary synergy is exploited. Mathematics of Data Science aims to provide the foundations for the understanding and the rigorous justification of available data analysis methods, while formalizing and addressing new challenging problems.
The proposed Data Science path is meant to supply the student with the mathematical and computational background for effectively mining large amounts of data in a methodological way. The advances in knowledge will focus on the acquisition of key notions in analysis, geometry and algebra, together with the imperative training in probability, statistics, numerics and optimization.
- Dynamics and Applications. Dynamical Systems make for one of the most interdisciplinary and ramified fields of Mathematics, drawing ideas and techniques from Geometry, Analysis, Probability, Physics, etc. and presenting tools and results to many areas of Mathematics, as well as countless applications to the Sciences. The Curriculum “Dynamics and Applications” supplies the student with the fundamentals of the modern Theory of Dynamical Systems (including topological dynamics, ergodic theory, fundamental applications, hyperbolic dynamics and geometric properties), within the scope of a broad mathematical education, as it is especially necessary in this field. Also, an important aim of the curriculum is to expose the student to academic and real-world applications of the concepts and methods of Dynamics (including information-theoretic methods).
- Finance. The goal of the curriculum ‘Finance’ is to provide students with the mathematical background to successfully deal with the modeling challenges emerging in modern Economics and Finance. The curriculum offers a solid background in Analysis (PDEs and Fourier Methods), Probability (Stochastic Analysis and SDEs), Numerical Methods (Numerical differential equations and techniques for data science), Mathematics for Complex Systems, Dynamical Systems, and Machine Learning, and, last but not least, Computational methods for Topology. The student will also acquire fundamental concepts from econometrics, time series analysis, financial economics, and derivative pricing.
- Imaging. Imaging is a scientific field concerned with the restoration, manipulation and analysis of digital images. Recent advances in image processing hardware and software and broader use of imaging technology have led to explosive growth in the interdisciplinary field of imaging science. To meet the demands of applications on high resolution and reliable analysis tools, increasingly sophisticated mathematical models and computational methods emerge.
Numerical methods play an important role in this field combining numerical linear algebra, numerical optimization, PDE’s and statistics. The Imaging path aims at providing students with theoretical and computational knowledge necessary to deal with imaging problems.
- Mathematical Analysis. The curriculum Mathematical Analysis provides the student with a solid background in mathematical analysis, bringing her/him up to the boundary of the current research. The student will freely choose between aspects of PDE, Calculus of Variations, Harmonic Analysis. He will be able to choose to concentrate only on aspects of pure mathematics. or to consider a wild spectrum of applications, which range from geometrical and physical problems, to finance or image processing.
- Mathematical Models for Science. The curriculum in Mathematical models for Science, provides the student with specific competence in the most fascinating problems of this century, which is modelling life Science and in particular human brain, with a solid mathematical background. The student will first acquire theoretical competences in various sectors and will be trained to use these instruments to describe concrete problems coming from Science. In particular the research group of the Department is a leader in studing of human brain with instruments of differential geometry, geometric analysis and PDE. Exams of Numerical analysis will complement the path in order to perform robust implementation of the models
- Mathematical Physics Models for Inference and Machine Learning. The recent technological breakthrough in data science and inference methods that have favoured the spectacular success of artificial intelligence and machine learning of the last decade are calling for new curricula in higher education where the robust theoretical bases are matched with the emerging scientific challenges. The spectrum of learning outcomes includes the necessary competences to join the scientific research community and those that allow a direct occupation on high-tech companies. The present curriculum proposed by the mathematical-physics group is therefore pairing the cultural bases of the discipline, with some emphasis on the courses with applications and modelizations approaches necessary to acquire those competences, with some courses where the students are directly exposed to the new methods of Machine Learning and Deep Learning, both from the information theory perspective
and from the applications perspective.
- Modelling. Mathematical modelling plays an essential role in science and engineering. The main scope of this path is to formulate mathematical models of concrete problems with PDE-based, geometrical or topological instruments and to use computational approches to implement and validate them. The accuracy of mathematical formulation, the analysis of the numerical solution and the validation step will ensure agreement between mathematical description, computational results and reality, and the possibility to make prediction on the evolution of the phenomena. At the end of this path, students acquire the skills to correctly formulate mathematical models, to study them by theoretical instruments and to use proven reliable computational approaches for providing the explicit solution.
- Probability and Stochastic Analysis: aims at providing the students with a solid mathematical background, so as to include interdisciplinary notions in the fields of Analysis, Probability, Numerical Calculus and Statistics. This curriculum targets students interested in:
- in-depth study of the theoretical aspects, in order to undertake research activity either at academic or industrial level;
- real-world applications that require advanced mathematical skills, with the possibility of selecting applied courses in the fields of Medicine, Economics, Engineering and Data Science.