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Sillabo - Laurea Magistrale

Conoscenze minime richieste ad un candidato per l'ammissione alla Laurea Magistrale

  • Nozioni di limite e di continuità per funzioni reali di una o più variabili reali e più in generale per funzioni tra spazi normati o topologici

  • Equazioni differenziali ordinarie e metodi risolutivi

  • Polinomio di Taylor per una funzione reale di una o più variabili.

  • Integrali curvilinei e di superficie.

  • Serie numeriche e i principali criteri di convergenza e non convergenza.  Serie di potenze in ambiente reale e complesso; nozioni elementari sulle funzioni olomorfe di una variabile complessa.

  • Elementi di base sulle funzioni di una variabile complessa, funzioni analitiche.

  • Conoscenze di base su misura e integrale di Lebesgue in R e R^n

  • Conoscenze di base sui più importanti spazi di funzioni: C^n, C^∞, L^p, L^∞ su aperti di R o di R^n.

  • Spazio di Hilbert astratto

  • Fondamenti di meccanica classica, in particolare: Legge di conservazione dell’energia. Analisi qualitativa del moto unidimensionale. Equilibrio dei sistemi meccanici. Principio dei Lavori Virtuali. Problema dei due corpi. Il corpo rigido.

  • Elementi di meccanica analitica (Lagrangiana e Hamiltoniana), in particolare: Equazioni di Eulero-Lagrange. Equazioni di Hamilton. Trasformazioni Canoniche. Sistemi integrabili. Metodo di Hamilton-Jacobi.

  • Basi di Termodinamica, in particolare: primo e secondo principio, entropia e sua interpretazione probabilistica. Moto diffusivo e passeggiata aleatoria.

  • Relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine

  • Divisibilità tra interi: algoritmo di Euclide e teorema di Bézout. Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica.

  • Polinomi a coefficienti reali: divisione tra polinomi e polinomi irriducibili; polinomi a coefficienti complessi e teorema fondamentale dell'algebra.

  • Elementi di teoria dei gruppi; sottogruppi normali e quozienti; omomorfismi.

  • Elementi di teoria degli anelli; domini a ideali principali; anelli euclidei; omomorfismi.

  • Elementi di teoria dei campi: campi numerici. Caratteristica di un campo.

  • Spazi vettoriali e applicazioni lineari; matrici e sistemi lineari; autovalori, autovettori diagonalizzazione di endomorfismi.

  • Spazi affini, sottospazi e trasformazioni affini.  Prodotto scalare, spazi vettoriali Euclidei.

  • Forme quadratiche e loro classificazione per congruenza; coniche e quadriche: classificazione affine e metrica.

  • Spazi topologici e funzioni continue, omeomorfismi, topologia prodotto e quoziente, spazi connessi e compatti. Spazi proiettivi reali.

  • Curve differenziabili nel piano e nello spazio; teoria delle superfici in E3, geodetiche.

  • Assiomi del calcolo delle probabilità; eventi, eventi indipendenti e probabilità condizionata.

  • Variabili aleatorie e principali distribuzioni (binomiale, geometrica, ipergeometrica, di Poisson, esponenziale, gamma, gaussiana, beta).

  • Distribuzione multinomiale e gaussiana multidimensionale. Indipendenza stocastica e non correlazione.

  • Schema di Bernoulli. Legge debole dei grandi numeri.  Funzione generatrice. Funzione caratteristica.

  • Nozioni di base di statistica descrittiva.

  • Elementi di base di calcolo numerico: aritmetica finita, algebra lineare numerica, approssimazione dati.

  • Principi di programmazione e conoscenza di base del linguaggio MatLab